I LoVe Mathematic: Januari 2012

BAB II

PEMBAHASAN

A. Definisi Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap

dua titik tertentu tetap harganya.

Catatan: dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

B. Bagian-bagian Hiperbola

Beberapa bagian hiperbola diantaranya:

1. Sumbu simetri

Dari gambar tampak bahwa hiperbola juga memiliki dua buah sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik focus F₁ dan F₂, serta garis yang melalui titik tengah F₁ dan F ₂yang tegak lurus F₁F₂.

a. Sumbu simetri yang melalui titik-titik focus F₁dan F₂disebut sumbu utama atau sumbu transfersal. Sumbu utama memotong hiperbola di titik A₁dan A₂, masing-masing disebut puncak hiperbola. Jadi, focus (F₁dan F₂) dan kedua titik puncak (A₁dan A₂) dari sebuah hiperbola terletak pada sumbu utama. Ruas garis A₁A₂ disebut sumbu mayor hiperbola.

b. Sumbu simetri yang melalui titik tengah F₁dan F₂serta tegak lrus F₁F₂ disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi. Perhatikan bahwa suatu hiperbola tidak memotong sumbu sekawan. Oleh karena itu, sumbu sekawan juga disebut sebagai sumbu imajiner sedangkan sumbu utama disebut sumbu nyata.

2. Titik pusat hiperbola

Sumbu utama dan sumbu sekawan berpotongan di titik O disebut titik pusat hiperbola.

3. Latus rectum

Garis yang melalui titik focus F₁ dan tegak lurus sumbu utama memotong hiperbola di L₁dan L_2.Begitu pula garis yang melalui titik focus F₂dan tegak lurus sumbu utama memotong hiperbola di L₁dan L₂. Ruas garis L₁L₁’ dan L₂L₂’ masing-masing disebut latus rectum hiperbola. Panjang latus rectum dapat dicari sebagai berikut. Pada gambar, latus rectumnya adalah ruas-ruas garis L₁L₁’ dan L₂L₂’. Panjang latus rectum hiperbola

dapat ditentukan sebagai berikut:

Untuk x = c, didapat

Titik-titik ujung ujung latus rectumnya adalah

dan

Panjang latus rectum = jarak titik-titik ujung latus rectum

Jadi, panjang latus rectum hiperbola

adalah L₁L₁’ = L₂L₂’ =

C. Eksentrisitas dan Persamaan Direktris

Hiperbola dapat didefinisikan dengan memakai sifat focus dan direktris sebagai berikut :

Definisi : “hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap.” Titik tertentu dan garis tertentu disebut focus dan direktris hiperbola, nilai perbandingan tetap disebut eksentrisitas hiperbola yang nilainya e>1.

Nilai eksentrisitas dan persamaan direktris hiperbola

dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan nilai eksentrisitas dan persamaan direktris pada elips

yaitu

1. Nilai eksentrisitas

2. Persamaan direktris g₁

dan g₂

D. Asimtot Hiperbola

Untuk memahami pengertian asimtot hiperbola, persamaan hiperbola

kita ubah sebagai berikut

⇔

Karena nilai x mendekati tak hingga, maka nilai

mendekati nol atau

mendekati 1. Dengan demikian,

mendekati

atau y mendekati

. Garis-garis dengan persamaan y=

merupakan asimtot bagi grafik hiperbola

. Jadi, hiperbola

memiliki dua buah asimtot, masing – masing dengan persamaan

E. Persamaan Hiperbola

1. Persamaan hiperbola berpusat di O(0,0)

F1 = (-c,0)

F2 = (c,0)

P = (x,y)

PF1 =

PF2 =

PF1 – PF2 = 2a

⇔

–

= 2a

⇔

= 2a +

⇔

kedua ruas persamaan dibagi

⇔

Oleh karena c>a, maka c²>a² atau c² – a²>0. Kita tetapkan nilai c² – a² = b², sehingga persamaan yang terakhir itu menjadi

atau b²x² – a²y² = a²b².

Persamaan hiperbola berpusat di O(0,0), focus di F1(-c,0) dan F2(c,0) dan selisih jaraknya terhadap kedua focus sama dengan 2a adalah :

b²x² – a²y² = a²b²

· Titik potong hiperbola dengan sumbu koordinat.

Titik-titik potong hiperbola

dengan sumbu-sumbu koordinat dapat ditentukan sebagai berikut,

a. Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y=0.

b²x² = a²b²

x² = a²

x =

jadi, titik potong hiperbola

adalah A1(-a,0) dan A2(a,0). Dalam hal ini, titik-titik A1(-a,0) dan A2(a,0) bertindak sebagai titik puncak hiperbola. Ruas garis A1A2 = 2a merupakan panjang sumbu mayor.

b. Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x=0.

-a²y² = a²b²

y² = -b²

oleh karena b²>0 (berarti –b²<0), maka persamaannya y² = -b² tidak mempunyai penyelesaian. Jadi, hiperbola

tidak berpotongan dengan sumbu Y. oleh karena itu hiperbola ini tidak memotong sumbu Y, maka sketsa grafiknya terdiri atas dua bagian (disebut cabang), yaitu cabang sebelah kiri sumbu Y dan cabang sebelah kanan sumbu Y.

2. Persamaan Hiperbola berpusat di (h,k)

A₁ = (h – a. k )

A₂ = (h – a. k )

F₁ = (h – c.k ) F₂= (h – c.k) dan p = (x.y)

PF₁ =

PF₂ =

PF₁ – PF₂= 2a

↔

= 2a

↔

= 2a +

↔ ( x – h – c)² + (y – k)² = 4a² + 4a

+ (x – (h +c))² + (y – k)²

↔ x² – 2hx – 2hc + 2cx + h² – c² = 4a² – 4a

+ (x² – h² + c² – 2hx + 2ch – 2cx)

↔ -4ch – 4cx – 4a² = 4a

↔ cx – ch – a² = a

↔ ( c (x – h) – a² )²

↔ c² (x – h)² – 2a²c(x – h) – a⁴ = a²((x – (h – c))² + (y – k)²)

↔ c² (x – h)² – 2a²cx + 2a^2ch) + a⁴ = a²(x² – 2x (h + c)² + a²(y – k)²

↔ c² (x – h)² – 2a²cx + 2a²ch) + a⁴ = a²x² – 2a²xh – 2a²xc + a²(h – c)² + a² (y – k)²

↔ c² (x – h)² + 2a²ch + 2a²hx = a²x² + a² (h + c)² + a² (y – k)² – a⁴

↔ c² (x – h)² – a² (y – k)² + 2a²ch + 2a²hx = a²(h² + 2hc + c² ) + a²x² – a⁴

↔ c² (x – h)² – a² (y – k)² + 2a²ch + 2a²hx = a²h² + 2a²hc + a²c² + a²x² – a⁴

↔ c² (x – h)² – a² (y – k)² = a²h² + a²c² - 2a²hx + a²x² – a⁴

↔ c² (x – h)² – a² (y – k)² = a² (x² – 2hx + h²) + a² (c² – a²)

↔ c² (x – h)² – a² (y – k)² = a² (x – h)² + a²(c² – a²)

↔ c² (x – h)² – a² (x – h)² – a²(y – k)² = a²(c² – a²)

↔ (c² – a²)(x – h)² – a²(y – k)² = a²b²

↔ b²(-x – h)² – a²(y – k)² = a²b² : a²b²

–

= 1

F. Contoh Soal

Diketahui hiperbola dengan persamaan

= 1

a. Koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor, dan koordinat fokus

b. Nilai eksentrisitas persamaan direktris dan persamaan asimtot

c. Panjang laktus rectrum

Jawab :

= 1 merupakan hiperbola horizontal dengan a² = 16 ↔ a = 4 dan b² = 9 ↔ b = 3. Dari hubungan b² = c² – a², didapat c² = a² + b².

C² = 16 + 9 = 25 ↔ c = 5

a. Koordinat titik puncaknya adalah A₁ (-4,0) dan A₂(4,0)

Koordinat titik ujung sumbu minornya adalah B₁ (0,-3) dan B₂ (0,3)
koordinat fokusnya adalah F₁ (-5,0) dan F₂ (5,0)

b. Nilai eksentrisitas C =

Persamaan direktrisnya :

g₁ ≡ x = -

= -

dan g₂ ≡ x =

Persamaan asimtotnya :

l₁≡ y =

dan l₂≡ y =

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

A. Garis singgung melalui Suatu Titik pada Hiperbola

1. Untuk hiperbola yang berpusat di O (0,0)

P (x₁ , y₁)

Sebuah garis yang melalui titik P (x₁ , y₁) pada hiperbola disebut garis singgung hiperbola. Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x₁ , y₁) pada hiperbola

= 1, dapat ditentukan dengan memanfaatkan taksiran turunan.

Dimana persamaan garis singgung yang melalui titik P (x₁, y₁) adalah y- y₁= m (x – x₁). Karena titik P (x₁, y₁) terletak pada hiperbola, maka nilai gradien m dapat ditentukan dengan tafsiran geometri turunan.

m =

Dengan mengambil differensial pada persamaan hiperbola

= 1 didapat :

↔ d

= d (1)

↔

= 0

↔

Jadi, m =

Subtitusi m =

ke persamaan y – y₁ = m(x – x₁)

y – y₁ =

↔ a²y₁y – a²y₁² = b²x₁(x – x₁)

↔ a²y₁y – a²y₁² = b²x₁x – b²x₁²

↔ b²x₁x – a²y₁y = b²x₁² – a²y₁² (masing-masing dibagi a²b²)

↔

Karena titik P (x₁, y₁) terletak pada hiperbola

= 1, maka berlaku

= 1 sehingga

= 1

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P (x₁, y₁) pada hiperbola

= 1dapat ditentukan dengan rumus

= 1

Dengan menggunakan analisis yang sama, persamaan garis singgung yang melalui titik P (x₁, y₁) pada hiperbola vertikal

dapat ditentukan dengan rumus :

= 1

2. Untuk hiperbola yang berpusat di M (h,k)

Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x₁, y₁) pada hiperbola

= 1, dapat ditentukan dengan memanfaatkan taksiran turunan.

Dimana persamaan garis singgung yang melalui titik P (x_1,y₁) adalah y - y₁₌ m (x-x₁). Karena titik P (x_1,y₁) terletak pada hiperbola, maka nilai gradien m dapat ditentukan dengan tafsiran geometri turunan.

m =